正弦定理、余弦定理的应用

逍遥右脑  2014-04-01 13:12

目的:1 进一步熟悉正、余弦定理内容;?
2 能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化;?
3 能够利用正、余弦定理判断三角形的形状;?
4 能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式 ?
重点:利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向
教学难点: 三角函数公式变形与正、余弦定理的联系 ?
教学方法:启发引导式?
1 启发学生在证明三角形问题或者三角恒等式时,要注意正弦定理、余弦定理的适用题型与所证结论的联系,并注意特殊正、余弦关系的应用,比如互补角的正弦值相等,互补角的余弦值互为相反数等;?
2 引导学生总结三角恒等式的证明或者三角形形状的判断,重在发挥正、余弦定理的边角互换作用
教学过程:一、复习引入:
正弦定理:
余弦定理:


二、讲解范例:例1在任一△ABC中求证:

证:左边=
= =0=右边
例2 在△ABC中,已知 , ,B=45? 求A、C及c
解一:由正弦定理得:
∵B=45?<90? 即b当A=60?时C=75?
当A=120?时C=15?
解二:设c=x由余弦定理
将已知条件代入,整理:
解之: 当 时

从而A=60? ,C=75? 当 时同理可求得:A=120? ,C=15?
例3 在△ABC中,BC=a, AC=b, a, b是方程 的两个根,且
2cos(A+B)=1 求(1)角C的度数 (2)AB的长度 (3)△ABC的面积
解:(1)cosC=cos[??(A+B)]=?cos(A+B)=? ∴C=120?
(2)由题设:
∴AB2=AC2+BC2?2AC?BC?osC
即AB=
(3)S△ABC=
例4 如图,在四边形ABCD中,已知AD?CD, AD=10, AB=14, ?BDA=60?, ?BCD=135? 求BC的长
解:在△ABD中,设BD=x


整理得: 解之: (舍去)
由余弦定理: ∴
例5 △ABC中,若已知三边为连续正整数,最大角为钝角,1?求最大角 ;
2?求以此最大角为内角,夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积
解:1?设三边 且
∵C为钝角 ∴ 解得
∵ ∴ 或3 但 时不能构成三角形应舍去
当 时
2?设夹C角的两边为
S 当 时S最大=
例6 在△ABC中,AB=5,AC=3,D为BC中点,且AD=4,求BC边长
分析:此题所给题设条件只有边长,应考虑在假设BC为x后,建立关于x的方程 而正弦定理涉及到两个角,故不可用 此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用 因为D为BC中点,所以BD、DC可表示为 ,然用利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程 ?
解:设BC边为x,则由D为BC中点,可得BD=DC= ,
在△ADB中,cosADB=
在△ADC中,cosADC=
又∠ADB+∠ADC=180°
∴cosADB=cos(180°-∠ADC)=-cosADC ?

解得,x=2?, 所以,BC边长为2
评述:此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能,体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用,并注意总结这一性质的适用题型 ?
另外,对于本节的例2,也可考虑上述性质的应用来求解sinA,思路如下:
由三角形内角平分线性质可得 ,设BD=5k,DC=3k,则由互补角∠ADC、∠ADB的余弦值互为相反数建立方程,求出BC后,再结合余弦定理求出cosA,再由同角平方关系求出sinA
三、课堂练习:
1 半径为1的圆内接三角形的面积为0.25,求此三角形三边长的乘积 ?
解:设△ABC三边为a,b,c 则S△ABC=

又 ,其中R为三角形外接圆半径
∴ , ∴abc=4RS△ABC=4×1×0.25=1
所以三角形三边长的乘积为1 ?
评述:由于题设条件有三角形外接圆半径,故联想正弦定理:
,其中R为三角形外接圆半径,与含有正弦的三角形面积公式S△ABC= 发生联系,对abc进行整体求解
2 在△ABC中,已知角B=45°,D是BC边上一点,AD=5,AC=7,DC=3,求
AB ?
解:在△ADC中,
cosC=
又0<C<180°,∴sinC=
在△ABC中, ∴AB=
评述:此题在求解过程中,先用余弦定理求角,再用正弦定理求边,要求学生注意正、余弦定理的综合运用
3 在△ABC中,已知cosA= ,sinB= ,求cosC的值 ?
解:∵cosA= < =cos45°,0<A<π ∴45°<A<90°, ∴sinA=
∵sinB= < =sin30°,0<B<π ∴0°<B<30°或150°<B<180°
若B>150°,则B+A>180°与题意不符 ∴0°<B<30° cosB=
∴cos(A+B)=cosA?cosB-sinA?sinB=
又C=180°-(A+B) ?
∴cosC=cos[180°-(A+B)]=-cos(A+B)=-
评述:此题要求学生在利用同角的正、余弦平方关系时,应根据已知的三角函数值具体确定角的范围,以便对正负进行取舍,在确定角的范围时,通常是与已知角接近的特殊角的三角函数值进行比较 ?
四、小结 通过本节学习,我们进一步熟悉了三角函数公式及三角形的有关性质,综合运用了正、余弦定理求解三角形的有关问题,要求大家注意常见解题方法与解题技巧的总结,不断提高三角形问题的求解能力
五、课后作业:
课后记: 1 正、余弦定理的综合运用余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理,若将正弦定理代入得:sin2A=sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA
这是只含有三角形三个角的一种关系式,利用这一定理解题,简捷明快,举例:
[例1]在△ABC中,已知sin2B-sin2C-sin2A= sinAsinC,求B的度数
解:由定理得sin2B=sin2A+sin2C-2sinAsinCcosB,?
∴-2sinAsinCcosB= sinAsinC
∵sinAsinC≠0 ?∴cosΒ=- ∴B=150°
[例2]求sin210°+cos240°+sin10°cos40°的值
解:原式=sin210°+sin250°+sin10°sin50°
在sin2A=sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA,令B=10°,C=50°,则A=120°
sin2120°=sin210°+sin250°-2sin10°sin50°cos120°
=sin210°+sin250°+sin10°sin50°=( )2=
[例3]在△ABC中,已知2cosBsinC=sinA,试判定△ABC的形状 ?
解:在原等式两边同乘以sinA得:2cosBsinAsinC=sin2A,由定理得sin2A+sin2C-sin2Β=sin2A, ∴sin2C=sin2B?∴B=C故△ABC是等腰三角形 ?
2 一题多证:[例4]在△ABC中已知a=2bcosC,求证:△ABC为等腰三角形 ?
证法一:欲证△ABC为等腰三角形 可证明其中有两角相等,因而在已知条件中化去边元素,使只剩含角的三角函数 由正弦定理得a=
∴2bcosC= ,即2cosC?sinB=sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC
∴sinBcosC-cosBsinC=0 即sin(B-C)=0,?∴B-C=nπ(n∈Z)
∵B、C是三角形的内角,?∴B=C,即三角形为等腰三角形 ?
证法二:根据射影定理,有a=bcosC+ccosB,
又∵a=2bcosC?∴2bcosC=bcosC+ccosB?∴bcosC=ccosB,即
又∵ ∴ 即tanB=tanC
∵B、C在△ABC中,?∴B=C?∴△ABC为等腰三角形 ?

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