高中数学竞赛标准教材(第四章几个初等函数的性质)

逍遥右脑  2014-03-25 17:18

第四章 几个初等函数的性质

一、基础知识
1.指数函数及其性质:形如y=ax(a>0, a 1)的函数叫做指数函数,其定义域为R,值域为(0,+∞),当01时,y=ax为增函数,它的图象恒过定点(0,1)。
2.分数指数幂: 。
3.对数函数及其性质:形如y=logax(a>0, a 1)的函数叫做对数函数,其定义域为(0,+∞),值域为R,图象过定点(1,0)。当01时,y=logax为增函数。
4.对数的性质(M>0, N>0);
1)ax=M x=logaM(a>0, a 1);
2)loga(MN)= loga M+ loga N;
3)loga( )= loga M- loga N;4)loga Mn=n loga M;,
5)loga = loga M;6)aloga M=M; 7) loga b= (a,b,c>0, a, c 1).
5. 函数y=x+ (a>0)的单调递增区间是 和 ,单调递减区间为 和 。(请读者自己用定义证明)
6.连续函数的性质:若a二、方法与例题
1.构造函数解题。
例1 已知a, b, c∈(-1, 1),求证:ab+bc+ca+1>0.
【证明】 设f(x)=(b+c)x+bc+1 (x∈(-1, 1)),则f(x)是关于x的一次函数。
所以要证原不等式成立,只需证f(-1)>0且f(1)>0(因为-1因为f(-1)=-(b+c)+bc+1=(1-b)(1-c)>0,
f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)>0,
所以f(a)>0,即ab+bc+ca+1>0.
例2 (柯西不等式)若a1, a2,…,an是不全为0的实数,b1, b2,…,bn∈R,则( )?( )≥( )2,等号当且仅当存在 R,使ai= , i=1, 2, …, n时成立。
【证明】 令f(x)= ( )x2-2( )x+ = ,
因为 >0,且对任意x∈R, f(x)≥0,
所以△=4( )-4( )( )≤0.
展开得( )( )≥( )2。
等号成立等价于f(x)=0有实根,即存在 ,使ai= , i=1, 2, …, n。
例3 设x, y∈R+, x+y=c, c为常数且c∈(0, 2],求u= 的最小值。
【解】u= =xy+ ≥xy+ +2?
=xy+ +2.
令xy=t,则0因为0所以f(t)min=f( )= + ,所以u≥ + +2.
当x=y= 时,等号成立. 所以u的最小值为 + +2.
2.指数和对数的运算技巧。
例4 设p, q∈R+且满足log9p= log12q= log16(p+q),求 的值。
【解】 令log9p= log12q= log16(p+q)=t,则p=9 t , q=12 t , p+q=16t,
所以9 t +12 t =16 t,即1+
记x= ,则1+x=x2,解得
又 >0,所以 =
例5 对于正整数a, b, c(a≤b≤c)和实数x, y, z, w,若ax=by=cz=70w,且 ,求证:a+b=c.
【证明】 由ax=by=cz=70w取常用对数得xlga=ylgb=zlgc=wlg70.
所以 lga= lg70, lgb= lg70, lgc= lg70,
相加得 (lga+lgb+lgc)= lg70,由题设 ,
所以lga+lgb+lgc=lg70,所以lgabc=lg70.
所以abc=70=2×5×7.
若a=1,则因为xlga=wlg70,所以w=0与题设矛盾,所以a>1.
又a≤b≤c,且a, b, c为70的正约数,所以只有a=2, b=5, c=7.
所以a+b=c.
例6 已知x 1, ac 1, a 1, c 1. 且logax+logcx=2logbx,求证c2=(ac)logab.
【证明】 由题设logax+logcx=2logbx,化为以a为底的对数,得

因为ac>0, ac 1,所以logab=logacc2,所以c2=(ac)logab.
注:指数与对数式互化,取对数,换元,换底公式往往是解题的桥梁。
3.指数与对数方程的解法。
解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解。值得注意的是函数单调性的应用和未知数范围的讨论。
例7 解方程:3x+4 x +5 x =6 x.
【解】 方程可化为 =1。设f(x)= , 则f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,因为f(3)=1,所以方程只有一个解x=3.
例8 解方程组: (其中x, y∈R+).
【解】 两边取对数,则原方程组可化为 ①②
把①代入②得(x+y)2lgx=36lgx,所以[(x+y)2-36]lgx=0.
由lgx=0得x=1,由(x+y)2-36=0(x, y∈R+)得x+y=6,
代入①得lgx=2lgy,即x=y2,所以y2+y-6=0.
又y>0,所以y=2, x=4.
所以方程组的解为 .
例9 已知a>0, a 1,试求使方程loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的k的取值范围。
【解】由对数性质知,原方程的解x应满足 .①②③
若①、②同时成立,则③必成立,
故只需解 .
由①可得2kx=a(1+k2), ④
当k=0时,④无解;当k 0时,④的解是x= ,代入②得 >k.
若k<0,则k2>1,所以k<-1;若k>0,则k2<1,所以0综上,当k∈(-∞,-1) ∪(0, 1)时,原方程有解。

三、基础训练题
1.命题p: “(log23)x-(log53)x≥(log23)-y-(log53)-y”是命题q:“x+y≥0”的_________条件。
2.如果x1是方程x+lgx=27的根,x2是方程x+10x=27的根,则x1+x2=_________.
3.已知f(x)是定义在R上的增函数,点A(-1,1),B(1,3)在它的图象上,y=f-1(x)是它的反函数,则不等式f-1(log2x)<1的解集为_________。
4.若log2a <0,则a 取值范围是_________。
5.命题p: 函数y=log2 在[2,+∞)上是增函数;命题q: 函数y=log2(ax2-4x+1)的值域为R,则p是q的_________条件。
6.若00且a 1,比较大小:loga(1-b)_________loga(1+b).
7.已知f(x)=2+log3x, x∈[1, 3],则函数y=[f(x)]2+f(x2)的值域为_________。
8.若x= ,则与x最接近的整数是_________。
9.函数 的单调递增区间是_________。
10.函数f(x)= 的值域为_________。
11.设f(x)=lg[1+2x+3 x +…+(n-1) x +n x?a],其中n为给定正整数, n≥2, a∈R.若f(x)在x∈(-∞,1]时有意义,求a的取值范围。
12.当a为何值时,方程 =2有一解,二解,无解?
四、高考水平训练题
1.函数f(x)= +lg(x2-1)的定义域是_________.
2.已知不等式x2-logmx<0在x∈ 时恒成立,则m的取值范围是_________.
3.若x∈{xlog2x=2-x},则x2, x, 1从大到小排列是_________.
4. 若f(x)=ln ,则使f(a)+f(b)= _________.

5. 命题p: 函数y=log2 在[2,+∞)上是增函数;命题q:函数y=log2(ax2-4x+1)的值域为R,则p是q的_________条件.
6.若00且a 1,比较大小:loga(1-b) _________loga(1+b).
7.已知f(x)=2+log3x, x∈[1, 3],则函数y=[f(x)]2+f(x2)的值域为_________.
8.若x= ,则与x最接近的整数是_________.
9.函数y= 的单调递增区间是_________.
10.函数f(x)= 的值域为_________.
11.设f(x)=lg[1+2x+3 x +…+(n-1) x +n x?a],其中n为给定正整数,n≥2,a∈R。若f(x) 在x∈(-∞,1]时有意义,求a的取值范围。
12.当a为何值时,方程 =2有一解,二解,无解?
四、高考水平训练题
1.函数f(x)= +lg(x2-1)的定义域是__________.
2.已知不等式x2-logmx<0在x∈ 时恒成立,则m的取值范围是 ________.
3.若x∈{xlog2x=2-x},则x2, x, 1从大到小排列是________.
4.若f(x)=ln ,则使f(a)+f(b)= 成立的a, b的取值范围是________.
5.已知an=logn(n+1),设 ,其中p, q为整数,且(p ,q)=1,则p?q的值为_________.
6.已知x>10, y>10, xy=1000,则(lgx)?(lgy)的取值范围是________.
7.若方程lg(kx)=2lg(x+1)只有一个实数解,则实数k的取值范围是________.
8.函数f(x)= 的定义域为R,若关于x的方程f 2(x)+bf(x)+c=0有7个不同的实数解,则b, c应满足的充要条件是________.
(1)b<0且c>0;(2)b>0且c<0;(3)b<0且c=0;(4)b≥0且c=0。
9.已知f(x)= x, F(x)=f(x+t)-f(x-t)(t 0),则F(x)是________函数(填奇偶性).
10.已知f(x)=lg ,若 =1, =2,其中a<1, b<1,则f(a)+f(b)=________.
11.设a∈R,试讨论关于x的方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实数解的个数。
12.设f(x)=lgx,实数a, b满足0(1)a4+2a2-4a+1=0, b4-4b3+2b2+1=0;(2)313.设a>0且a 1, f(x)=loga(x+ )(x≥1),(1)求f(x)的反函数f-1(x);(2)若f-1(n)< (n∈N+),求a的取值范围。
五、联赛一试水平训练题
1.如果log2[log (log2x)]= log3[log (log3x)]= log5[log (log5z)]=0,那么将x, y, z从小到大排列为___________.
2.设对任意实数x0> x1> x2> x3>0,都有log 1993+ log 1993+ log 1993> klog 1993恒成立,则k的最大值为___________.
3.实数x, y满足4x2-5xy+4y2=5,设S=x2+y2,则 的值为___________.
4.已知05.用[x]表示不超过x的最大整数,则方程lg2x-[lgx]-2=0的实根个数是___________.
6.设a=lgz+lg[x(yz)-1+1], b=lgx-1+lg[xyz+1], c=lgy+lg[(xyz)-1+1],记a, b, c中的最大数为M,则M的最小值为___________.
7.若f(x)(x∈R)是周期为2的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)= ,则 , 由小到大排列为___________.
8.不等式 +2>0的解集为___________.
9.已知a>1, b>1,且lg(a+b)=lga+lgb,求lg(a-1)+lg(b-1).
10.(1)试画出由方程 所确定的函数y=f(x)图象。
(2)若函数y=ax+ 与y=f(x)的图象恰有一个公共点,求a的取值范围。
11.对于任意n∈N+(n>1),试证明:[ ]+[ ]+…+[ ]=[log2n]+[log3n]+…+[lognn]。
六、联赛二试水平训练题
1.设x, y, z∈R+且x+y+z=1,求u= 的最小值。
2.当a为何值时,不等式log ?log5(x2+ax+6)+loga3≥0有且只有一个解(a>1且a 1)。
3.f(x)是定义在(1,+∞)上且在(1,+∞)中取值的函数,满足条件;对于任何x, y>1及u, v>0, f(xuyv)≤[f(x)] [f(y)] ①都成立,试确定所有这样的函数f(x).
4. 求所有函数f:R→R,使得xf(x)-yf(x)=(x-y)f(x+y)①成立。
5.设m≥14是一个整数,函数f:N→N定义如下:
f(n)= ,
求出所有的m,使得f(1995)=1995.
6.求定义在有理数集上且满足下列条件的所有函数f:
f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)?f(y), x, y∈Q.
7.是否存在函数f(n),将自然数集N映为自身,且对每个n>1, f(n)=f(f(n-1))+f(f(n+1))都成立。
8.设p, q是任意自然数,求证:存在这样的f(x) ∈Z(x)(表示整系数多项式集合),使对x轴上的某个长为 的开区间中的每一个数x, 有
9.设α,β为实数,求所有f: R+→R,使得对任意的x,y∈R+, f(x)f(y)=y2?f 成立。

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