2.2二项分布及其应用教案三(新人教A版选修2-3)

逍遥右脑  2013-03-14 10:11



2.2.2事的相互独立性
目标:
知识与技能:理解两个事相互独立的概念。
过程与方法:能进行一些与事 独立有关的概率的计算。
情感、态度与价值观:通过对实例的分析,会进行简单的应用。
重点:独立事 同时发生的概率
教学难点:有关独立事发生的概率计算
授类型:新授
时安排:2时
教 具:多媒体、实物投影仪
教学过程:
一、复习引入:
1 事的定义:随机事:在一定条下可能发生也可能不发生的事;
必然事:在一定条下必然发生的事;
不可能事:在 一定条下不可能发生的事
2.随机事的概率:一般地,在大量重复进行同一试验时,事 发生的频率 总是接近某个常数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事 的概率,记作 .
3.概率的确定方法:通过进行大量的重复试验,用这个事发生的频率近似地作为它的概率;
4.概率的性质:必然事的概率为 ,不可能事的概率为 ,随机事的概率为 ,必然事和不可能事看作随机事的两个极端情形
5 基本事:一次试验连同其中可能出现的每一个结果(事 )称为一个基本事
6.等可能性事:如果一次试验中可能出现的结果有 个,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每个基本事的概率都是 ,这种 事叫等可能性事
7.等可能性事的概率:如果一次试验中可能出现的结果有 个,而且所有结果都是等可能的,如果事 包含 个结果,那么事 的概率
8.等可能性事的概率公式及一般求解方法
9.事的和的意义:对于事A和事B是可以进行加法运算的
10 互斥事:不可能同时发生的两个事.
一般地:如果事 中的任何两个都是互斥的,那么就说事 彼此互斥
11.对立事:必然有一个发生的互斥事.
12.互斥事的概率的求法:如果事 彼此互斥,那么

探究:
(1)甲、乙两人各掷一枚硬币,都是正面朝上的概率是多少?
事 :甲掷一枚硬币,正面朝上;事 :乙掷一枚硬币,正面朝上
(2)甲坛子里有3个白球,2个黑球,乙坛子里有2个白球,2个黑球,从这两个坛子里分别摸出1个球,它们都是白球的概率是多少?
事 :从甲坛子里摸出1个球,得到白球;事 :从乙坛子里摸出1个球,得到白球
问题(1)、(2)中事 、 是否互斥?(不互斥)可以同时发生吗?(可以)
问题(1)、(2)中事 (或 )是否发生对事 (或 )发生的概率有无影响?(无影响)
思考:三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学有放回地抽取,事A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”, 事B为“最后一名同学抽到中奖奖券”. 事A的发生会影响事B 发生的概率吗?
显然,有放回地抽取奖券时,最后一名同学也是从原的三张奖券中任抽一张,因此第一名同学抽的结果对最后一名同学的抽奖结果没有影响,即事A的发生不会影响事B 发生的概率.于是
P(B A)=P(B),
P(AB)=P( A ) P ( B A)=P(A)P(B).
二、讲解新:
1.相互独立事的定义:
设A, B为两个事,如果 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 则称事A与事B相互独立(mutually independent ) .
事 (或 )是否发生对事 (或 )发生的概率没有影响,这样的两个事叫做相互独立事
若 与 是相互独立事,则 与 , 与 , 与 也相互独立
2.相互独立事同时发生的概率:
问题2中,“从这两个坛子里分别摸出1个球,它们都是白球”是一个事,它的发生,就是事 , 同时发生,记作 .(简称积事)
从甲坛子里摸出1个球,有5种等可能的结果;从乙坛子里摸出1个球,有4种等可能的结果 于是从这两个坛子里分别摸出1个球,共有 种等可能的结果 同时 摸出白球的结果有 种 所以从这两个坛子里分别摸出1个球,它们都是白球的概率 .
另一方面,从甲坛子里摸出1个球,得到白球的概率 ,从乙坛子里摸出1个球,得到白球的概率 .显然 .
这就是说,两个相互独立事同时发生的概率,等于每个事发生的概率的积 一般地,如果事 相互独立,那么这 个事同时发生的概率,等于每个事发生的概率的积,
即 .
3.对于事A与B及它们的和事与积事有下面的关系:

三、讲解范例:
例 1.某商场推出二次开奖活动,凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券.奖券上有一个兑奖号码,可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动.如果两次兑奖活动的中奖概率都是 0 . 05 ,求两次抽奖中以下事的概率:
(1)都抽到某一指定号码;
(2)恰有一次抽到某一指定号码;
(3)至少有一次抽到某一指定号码.
解: (1)记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事A, “第二次抽奖抽到某一指定号码”为事B ,则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事AB.由于两次抽奖结果互不影响,因此A与B相互独立.于是由独立性可得,两次抽奖都抽到某一指定号码的概率
P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) = 0. 05×0.05 = 0.0025.
(2 ) “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用(A )U( B)表示.由于事A 与 B互斥,根据概率加法公式和相互独立事的定义,所求的概率为
P (A )十P( B)=P(A)P( )+ P( )P(B )
= 0. 05×(1-0.05 ) + (1-0.05 ) ×0.05 = 0. 095.
( 3 ) “两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用(AB ) U ( A )U( B)表示.由于事 AB , A 和 B 两两互斥,根据概率加法公式和相互独立事的定义,所求的概率为 P ( AB ) + P(A )+ P( B ) = 0.0025 +0. 095 = 0. 097 5.
例2.甲、乙二射击运动员分别对一目标射击 次,甲射中的概率为 ,乙射中的概 率为 ,求:
(1) 人都射中目标的概率;
(2) 人中恰有 人射中目标的概率;
(3) 人至少有 人射中目标的概率;
(4) 人至多有 人射中目标的概率?
解:记“甲射击 次,击中目标”为事 ,“乙射击 次,击中目标”为事 ,则 与 , 与 , 与 , 与 为相互独立事,
(1) 人都射中的概率为:

∴ 人都射中目标的概率是 .
(2)“ 人各射击 次,恰有 人射中目标”包括两种情况:一种是甲击中、乙未击中(事 发生),另一种是甲未击中、乙击中(事 发生) 根据题意,事 与 互斥,根据互斥事的概率加法公式和相互独立事的概率乘法公式,所求的概率为:

∴ 人中恰有 人射中目标的概率是 .
(3)(法1):2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况,其概率为 .
(法2):“2人至少有一个击中”与“2人都未击中”为对立事,
2个都未击中目标的概率是 ,
∴“两人至少有1人击中目标”的概率为 .
(4)(法1):“至多有1人击中目标”包括“有1人击中”和“2人都未击中”,
故所求概率为:


(法2):“至多有1人击中目标”的对立事是“2人都击中目标”,
故所求概率为
例 3.在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关,只要其中有1个开关能够闭合,线路就能正常工作 假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7,计算在这段时间内线路正常工作的概率
解:分别记这段时间内开关 , , 能够闭合为事 , , .
由题意,这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响 根据相互独立事的概率乘法公式,这段时间内3个开关都不能闭合的概率是


∴这段时间内至少有1个开关能够闭合,,从而使线路能正常工作的概率是

答:在这段时间内线路正常工作的概率是 .
变式题1:如图添加第四个开关 与其它三个开关串联,在某段时间内此开关能够闭合的概率也是0.7,计算在这段时间内线路正常工作的概率
( )
变式题2:如图两个开关串联再与第三个开关并联,在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7,计算在这段时间内线路正常工作的概率
方法一:

方法二:分析要使这段时间内线路正常工作只要排除 开且 与 至少有1个开的情况

例 4.已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2.
(1)假定有5门这种高炮控制某个区域,求敌机进入这个区域后未被击中的概率;
(2)要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中,需至少布置几门高炮?
分析:因为敌机被击中的就是至少有1门高炮击中敌机,故敌机被击中的概率即为至少有1门高炮击中敌机的概率
解:(1)设敌机被第k门高炮击中的事为 (k=1,2,3,4,5),那么5门高炮都未击中敌机的事为 .
∵事 , , , , 相互独立,
∴敌机未被击中的概率为
=

∴敌机未被击中的概率为 .
(2)至少需要布置 门高炮才能有0.9以上的概率被击中,仿(1)可得:
敌机被击中的概率为1-
∴令 ,∴
两边取常用对数,得
∵ ,∴
∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机
点评:上面例1和例2的解法,都是解应用题的逆向思考方法 采用这种方法在解决带有词语“至多”、“至少”的问题时的运用,常常能使问题的解答变得简便

四、堂练习:
1.在一段时间内,甲去某地的概率是 ,乙去此地的概率是 ,假定两人的行动相互之间没有影响,那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是( )

2.从甲口袋内摸出1个白球的概率是 ,从乙口袋内摸出1个白球的概率 是 ,从两个口袋内各摸出1个球,那么 等于( )
2个球都是白球的概率 2个球都不是白球的概率
2个球不都是白球的概率 2个球中恰好有1个是白球的概率
3.电灯泡使用时间在1000小时以上概率为0.2,则3个灯泡在使用1000小时后坏了1个的概率是( )
0.128 0.096 0.104 0.384
4.某道路的 、 、 三处设有交通灯,这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45 秒,某辆车在这条路上行驶时,三处都不停车的概率是 ( )

5.(1)将一个硬币连掷5次,5次都出现正面的概率是 ;
(2)甲、乙两个气象台同时作天气预报,如果它们预报准确的概率分别是0.8与0.7,那么在一次预报中两个气象台都预报准确的概率是 .
6.棉籽的发芽率为0.9,发育为壮苗的概率为0.6,
(1)每穴播两粒,此穴缺苗的概率为 ;此穴无壮苗的概率为 .
(2)每穴播三粒,此穴有苗的概率为 ;此穴有壮苗的概率为 .
7.一个工人负责看管4台机床,如果在1小时内这些机床不需要人去照顾的概率第1台是0.79,第2台是0 .79,第3台是0.80,第4台是0.81,且各台机床是否需要照顾相互之间没有影响,计算在这个小时内这4台机床都不需要人去照顾的概率.
8.制造一种零,甲机床的废品率是0.04,乙机床的废品率是0.05.从它们制造的产品中各任抽1,其中恰有 1废品的概率是多少?
9 .甲袋中有8个白球,4个红球;乙袋中有6个白球,6个红球,从每袋中任取一个球,问取得的球是同色的概率是多少?
答案:1. C 2. C 3. B 4. A 5.(1) (2)
6.(1) , (2) ,
7. P=
8. P=
9. 提示:
五、小结 :两个事相互独立,是指它们其中一个事的发生与否对另一个事发生的概率没有影响 一般地,两个事不可能即互斥又相互独立,因为互斥事是不可能同时发生的,而相互独立事是以它们能够同时发生为前提的 相互独立事同时发生的概率等于每个事发生的概率的积,这一点与互斥事的概率和也是不同的
六、后作业:本58页练习1、2、3 第60页 习题 2. 2A组4. B组1
七、板书设计(略)
八、教学反思:
1. 理解两个事相互独立的概念。
2. 能进行一些与事独立有关的概率的计算。
3. 通过对实例的分析,会进行简单的应用。




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