山东省莱芜市2015届高三上学期期末考试试题（数学 理）

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,则( )A.B.C.D.【答案】D【解析】试题分析：由得；由得,故.考点：1、集合的运算；2、指数不等式与对数不等式.2.某几何体的三视图如右图所示，则它的体积是( )A.B. C.D.3.设，则( )A. B.C.D. 5.已知两点，过动点作轴的垂线，垂足为，若，当时，动点的轨迹为（ ）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【答案】C6.将正方形沿对角线折成一个直二面角，点到达点，则异面直线与所成角是（ ）A.B.C.D.7.函数的图象大致是（ ）9.直线将圆分割成的两段圆孤长之比为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：圆心 到直线的距离为， 直线被圆所截得的弦长为 ,所以圆心角为,故分割成的两段圆孤长之比为.考点：直线与圆的位置关系,弦长公式.10.已知向量若则的值为（ ）A.B.C.D. 12.已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且则不等式的解集为（ ）A. B.C.D.考点：1、导数运算；2、函数的单调性.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13.双曲线的顶点到其渐近线的距离等于____________.【答案】 【解析】试题分析：不妨设顶点为 ,一条渐近线为即,点直线的距离为.考点：1、双曲线的性质；2、点到直线的距离.14.若点在曲线上移动，设点处的切线的倾斜角为，则的范围是______.15.已知直线交抛物线于两点.若该抛物线上存在点，使得，则的取值范围为_________.三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知向量向量记（I）求函数的单调递增区间；（II）若，求函数的值域.考点：1、三角恒等变换；2、三角函数在区间上的值域.18.数列的前项和为,且是和的等差中项，等差数列满足 (I)求数列、的通项公式(II)设=，求数列的前项和.【答案】(I) ， (II) 19.已知抛物线的顶在坐标原点，焦点到直线的距离是（I）求抛物线的方程；（II）若直线与抛物线交于两点，设线段的中垂线与轴交于点 ，求的取值范围.20.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面底面，且为等腰直角三角形，，、分别为、的中点.（I）求证：//平面 ；（II）若线段中点为,求二面角的余弦值.【答案】（I）略（II）（II）取的中点，建如图坐标系，则相应点的坐标分别为 所以因为侧面底面，为平面的法向量，设 为平面的法向量，则由∴∴设二面角的大小,则为锐角，则．即二面角的余弦值为．考点：1、线面平行的证明；2、二面角的求法.21.已知函数.(I)设函数求的极值.(II)证明：在上为增函数。【答案】(I) 当时，无极值；当时，在处取得极小值，无极大值。 (II)见解析试题解析：(I)由题意：①当时，，为上的增函数，所以无极值。②当时，令得， 22.已知椭圆的离心率为，且经过点，圆的直径为的长轴.如图，是椭圆短轴端点，动直线过点且与圆交于两点，垂直于交椭圆于点.（I）求椭圆的方程；(II)求 面积的最大值，并求此时直线的方程.【答案】（I） (II)【解析】由得, ,所以,,所以,令,则,,当,即时,等号成立,故面积的最大值为,此时直线的方程为, 每天发布最有价值的高考资源 每天发布最有价值的高考资源 每天发布最有价值的山东省莱芜市2015届高三上学期期末考试试题（数学 理）
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