湖南省株洲市2014届高三教学质量统一检测（一）数学（理）试题

绝密★启用前株洲市2014届高三年级教学质量统一检测（一）数学试题（理工医农类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题）选择题本大题共小题，每小题5分，共0分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．答案要写在答题卷上为虚数单位，若复数的实部为1，则实数等于 （ ）A.-5 B.5 C.-1 D.2 2.下列有关命题正确的是（ ）A．“x=-1”是“-5x-6=0的必要不充分条件”B．命题“使得+x+1”的否定是：“均有 +x+1”C．命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为真命题D．已知p：>0，则：≤0的值为（ ） A．4B．5C．6D．74．设函数为定义在R上的奇函数，当时，（为常数），则 （ ）A．1 B．3C．D．5.已知点P（3,3），Q（3,-3），O为坐标原点，动点M（x, y）满足，则点M所构成的平面区域的面积是 ( )A. 12B. 16　C. 32D. 646. 在同一坐标系中，离心率为的椭圆与离心率为的双曲线有相同的焦点，椭圆与双曲线的一个交点与两焦点的连线互相垂直，则 ( ) (A)2 （B）3 （C） （D）7．已知函数，若且在区间上有最小值，无最大值则的值为（ ）A． B． C． D． 若实数、、、满足则的最小值 为第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题本大题共小题，每小题5分，共35分．.9.过点且垂直于直线的直线方程为 10．已知M是△ABC内的一点，且?＝2，BAC＝30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为，x，y，则＋的最小值是11．12．由曲线，直线及y轴所围成的图形的面积为 13．的方程有四个不同的实数根，则的取值范围是 14．图像的对称中心为，记函数的导函数为，的导函数为，则有．若函数，则 15．对于实数将满足“且为整数”的实数称为实数的小数部分用符号表示.已知无穷数列满足如下条件:①;②.(Ⅰ)若时,数列通项公式为 (Ⅱ)当时,对任意都有,则的值为.三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。的最小正周期和最大值； （2）若函数在处取得最大值，求的值．17.(本小题满分12分)如图，已知斜三棱柱（侧棱不垂直于底面）的侧面与底面ABC垂直，，. (1) 设AC的中点为D，证明底面；() 求侧面与底面ABC所成二面角的余弦值；前n项和为成等差数列.（I）求数列的通项公式；（II）数列满足，求证：19.(本小题满分13分)设某企业在两个相互独立的市场上出售同一种商品，两个市场的需求函数分别是,,其中和分别表示该产品在两个市场上的价格（单位：万元/吨），和分别表示该产品在两个市场上的销售量（即需求量，单位：吨），并且该企业生产这种产品的总成本函数是，其中表示该产品在两个市场的销售总量，即（1）试和确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润；（2）价格差别的条件下，推算该企业获得的左右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，过点P（4，0）且不垂直于y轴的动直线与椭圆M相交于A、B两点，过点A、O的直线与椭圆交于另一点C，（1）若，求AC的直线的方程；（2）求面积的最大值。21.(本小题满分13分) 设函数.（1）求函数的单调区间 （2）若函数有两个零点，，且，求证： 株洲市2014届高三年级教学质量统一检测（一）数学（理科）答案命题人：王开和（市教科院）赵银生（市一中）陈瑜（市二中）向伟民（九方中学）审题人：王开和（市教科院）赵银生（市一中）陈瑜（市二中）向伟民（九方中学）选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求)题号12345678答案DCABCACC二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）9、 ; 10、 18 ; 11、 ； 12、 ;13、； 14、-8050； 15、(1)；(2) 或三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 所以函数的最小正周期是,有最大值． .................6分（2）由（I）知：由，得， 所以．..12分17、 (1)证明： ∵，，∴∴三角形是等腰直角三角形，又D是斜边AC的中点，∴∵平面⊥平面，∴A1D⊥底面 ……6分 (2)∵， ∴∴三角形是直角三角形，过B作AC的垂线BE，垂足为E，则，∴ ……8分以D为原点，所在的直线为轴，DC所在的直线为轴，平行于BE的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则设平面的法向量为，则，即化简得令，得，所以是平面的一个法向量.由（I）得A1D⊥面ABC，所以设平面ABC的一个法向量为设向量和所成角为，则 即侧面A1 ABB1 与底面ABC所成二面角的余弦值为. ……12分18、(1)成等差数列,∴…………1分…………2分当,两式相减得：…………4分所以数列是首项为，公比为2的等比数列，…………6分（2）…………8分=…………12分19、解（1）设利润为那么利润函数=Q1P1+Q2P2-C= Q1P1+Q2P2-[2(Q1+Q2)+5]=-2Q12-Q22+16Q1+10Q2-5...................................4分将利润函数变形为M=-2(Q1-4)2-(Q2-5)2+52 ...................................5分 当Q1=4，Q2=5时即P1=10（万元），P2=7（万元）企业获得最大利润52万元................6分（2）由M= -2(Q1-4)2-(Q2-5)2+52得52-M= 2(Q1-4)2 +(Q2-5)2 令，，得 由实际意义知Q1、P1、Q2、P2都为正数得 又得即 化简得：..................................8分 圆的圆心（0,0）到的距离d= 所以，即 实际上取一位小数49.9(万元) ..................................13分(利用直线与椭圆相切同样可得分)20、解：（1）设C(x,y),则①..............3分又C点在椭圆上，有：②联立①②解得 所以AC的直线的方程为..................6分（2）设直线的方程为：，，联立直线与椭圆方程得： ................8分 弦长，又点O到直线的距离为所以=.............13分21、（1） ……2分当时，，函数在上单调递增，所以函数的单调递增区间为 …………………………4分当时，由，得；由，得所以函数的单调增区间为，单调减区间为 …………………6分（2）因为是函数的两个零点，有则，两式相减得即所以 ……………………………8分又因为，当时，；当时，故只要证即可，即证明 …………………10分即证明，即证明， ……………………………………12分设.令，则，因为，所以，当且仅当时，所以在是增函数；又因为，所以当时，总成立.所以原题得证. ……………………………………13分株洲市2014届教学质量统一检测（一）数学试题（理） 第4页，共 6页 湖南省株洲市2014届高三教学质量统一检测（一）数学（理）试题
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