逍遥右脑 2014-09-09 10:00
在平面几何和立体几何里，我们直接依据几何图形中点、直线、平面的关系研究几何图形的性质。现在采用另外一种研究方法：坐标法。坐标法是在坐标系的基础上，把几何问题转化成代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法。它是解析几何中最基本的研究方法。
解析几何是17世纪法国数学家笛卡儿和费马创立的。解析几何的创立是数学发展史上的一个里程碑，数学从此由常量数学进入变量数学时期。解析几何由此成为近代数学的基础之一。
一、内容与课程学习目标
本章我们在直角坐标系中，建立直线的方程，并通过方程研究直线的有关性质，如平行、垂直、两条直线的交点、点到直线的距离等。通过本章学习，学生应当达到的学习目标是：
1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素。
2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式。
3．能根据斜率判定两条直线平行或垂直。
4．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系。
5．能用解方程组的方法求两直线的交点坐标。
6．探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。
二、内容安排
本章共分三节，大约需要9课时。具体课时分配如下（仅供参考）：
3．1 直线的倾斜角与斜率 约2课时
3．2 直线的方程 约3课时
3．3 直线的交点坐标与距离公式 约3课时
小 结 约1课时
本章知识结构如下：
从几何直观到代数表示
（建立直线的方程）
从代数表示到几何直观
（通过方程研究几何性质和度量）
1．“直线的倾斜角与斜率”首先探索平面直角坐标系中确定直线位置的几何要素－－点和倾斜角。给出斜率的概念，并用代数方法表示它，导出用两点坐标表示斜率的公式，并根据直线的斜率判断两条直线平行与垂直。
2．“直线的方程” 首先在直角坐标系中建立直线的方程，然后介绍直线方程的点斜式、两点式、一般式，最后得出结论：在平面直角坐标系中，一切直线的方程都是二元一次方程，二元一次方程表示直线。
3．“直线的交点坐标与距离公式” 通过直线的方程研究两条直线的交点，并由此判断两条直线的位置关系：相交、平行及重合。通过点的坐标和直线的方程，导出两点间的距离、点到直线的距离以及两平行线间的距离。
4．“探究与发现 魔术师的地毯”是一个非常有趣的素材，主要是让学生运用直线斜率的知识，看两条直线是否共线，进而探究0．01m2的地毯到什么地方去了？
三、编写中考虑的几个问题
1．贯穿“坐标法”的思想，突出解析几何解决问题的“三部曲”
本章注意突出解析几何的基本思想“坐标法”：用方程表示直线，运用方程研究直线的位置关系：平行、垂直，以及两条直线的交点、点到直线的距离、两条平行直线之间的距离。几何问题代数化，用数量关系表示空间形式、位置关系等等。结合大量的例题，突出用坐标方法解决几何问题的“三部曲”：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论。
2．从一个或几个数学问题展开知识内容
问题是数学的心脏。引入知识内容时，常设置一个或几个问题，创设一种情境，一方面引起学生的兴趣，另一方面引起学生解决问题的求知欲望。
比如“3. 1.1 倾斜角与斜率”，提出了几个思考题：
思考：对于平面直角坐标系内的一条直线l，它的位置关系由那些条件确定呢？
思考：日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
3．关注结论形成的过程，通过思考、探究，得出结论
本章在编写时注意呈现方式，不直接给出结论，让学生证明。而是把结论放在学生经过一系列数学活动之后，通过思考、探究，得出结论。比如，用“坐标法”解决问题的“三部曲”就是通过解决一系列问题后得出。在例题的呈现时，增加了分析的过程，重点分析解题的思路。
4．充分利用教科书边空，提出具有一定思考价值的问题，强调重要的数学思想方法
利用教科书边空不失时机地提出一些具有一定思考价值的问题，例如，“3. 2.1 直线的点斜式方程” 中的边空“截距是距离吗？” “3. 2.3 直线的一般式方程”中边空“分类讨论时，常按 和分类，这样可以做到不重不漏。”等等。
四、对教学的几个建议
1．注意把握教学要求
教学中，注意控制教学的难度，避免进行综合性强、难度较大的数学题的训练，避免在解题技巧上做文章。比如，义务教育阶段“空间与图形”部分涉及的许多结论都可以用坐标法来加以证明，而义务教育阶段的教学要求已经有所改变。因此，用坐标法证明平面几何题要求不宜过高，适可而止。
传统的解析几何内容安排在三角函数后面，而现在安排在三角函数之前。当用到相关三角函数时，只在边空给出提示，让学生作为结论直接使用，不给出证明。例如，， 。这些结论放在数学4时补证。
2．关注重要数学思想方法的教学
重要的数学思想方法不怕重复。《普通高中数学课程标准（实验）》要求“坐标法”应贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法。在教学中应自始至终强化这一思想方法，这是解析几何的特点。教学中注意“数”与“形”的结合，在通过代数方法研究几何对象的位置关系以后，还可以画出其图形，验证代数结果；同时，通过观察几何图形得到的数学结论，对结论进行代数证明，即用解析方法解决某些代数问题，不应割断它们之间的联系，只强调“形”到“数”的方面。而忽视“数”到“形”的方面。
3．关注学生的动手操作和主动参与
学习方式的转变是课程改革的重要目标之一。教学中，注意提供充分的数学活动和交流的机会，引导他们在自主探索的过程中获得知识、增强技能、掌握基本的数学思想方法。 “观察”、“思考”、“探究”等栏目设置目的之一就是让学生参与到数学活动中来。
4．关注信息技术的应用
平面解析几何是一门典型的数与形结合的学科，信息技术在加强几何直观，促使数与形结合方面有着特殊的作用。借助信息技术，可以形象、直观地帮助学生认识所研究的直线。在动态演示中，观察直线的性质，在直观了解的基础上，寻求形成这些性质的原因以及代数表示。通过对方程的研究，了解直线与直线的关系时，运用信息技术，可以进一步验证得到的结果，为抽象的认识增添形象的支持。