2012届高考理科数学第一轮总复习 优选法

逍遥右脑  2014-03-29 16:19


第十九章 优选法

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  1.通过分析和解决具体实际问题,使学生掌握分数法、0.618法及其适用范围,运用这些方法解决一些实际问题,体会优选的思想方法.
2.了解斐波那契数列{Fn},理解在试验次数确定的情况下分数法最佳性的证明,通过连分数知道Fn-1和黄金分割的关系.
3.知道对分法、盲人爬山法、分批试验法,以及目标函数为多峰情况下的处理方法.  本章重点:根据不同的实际问题选择恰当的寻找最佳点的方法.
本章难点:比较不同优选方法的利弊和适用范围.  在生产和科学试验中,人们为了达到优质、高产、低耗等目标,需要对有关因素的最佳组合进行选择.在实践中的许多情况下,试验结果与因素之间的关系要么很难用数学形式来表达,要么表达式很复杂.优选法是解决这类问题的常用数学方法.

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典例精析
题型一 关于黄金分割法的优选法应用问题
【例1】炼某种航天材料,需添加某种化学元素以增加抗氧化强度,加入范围是1 000~
2 000克,求最佳加入量.
【解析】第一步:先在试验范围长度的0.618处做第(1)个试验:
x1=小+(大-小)×0.618=1 000+(2 000-1 000)×0.618=1 618克.
第二步:第(2)个试验点由公式计算:
x2=大+小-x1=2 000+1 000-1 618=1 382克.
第三步:比较(1)与(2)两点上所做试验的效果,现在假设第(1)点比较好,就去掉第(2)点,即去掉[1 000,1 382]这一段范围,留下[1 382,2 000].
而第(3)试点x3=大+小-x1=1 382+2 000-1 618=1 764克.
第四步:比较在上次留下的好点,即第(1)处和第(3)处的试验结果,看哪个点好,然后就去掉效果差的那个试验点以外的那部分范围,留下包含好点在内的那部分范围作为新的试验范围,……如此反复,直到得到较好的试验结果为止.
【点拨】可以看出每次留下的试验范围是上一次长度的0.618倍,随着试验范围越来越小,试验越趋于最优点,直到达到所需精度即可.
【变式训练1】设有一个优选问题,其因素范围是1 500~2 500,假设最优点在2 300处.
(1)用0.618法进行优选,写出第二,第三个试点的数值;
(2)若第一试点取2 010,写出第二,第三,第四个试点的数值.
【解析】(1)由0.618法得第一个试点为x1=1 500+0.618×(2 500-1 500)=2 118.
由“加两头,减中间”得x2=1 500+2 500-2 118=1 882.
因为最优点在2 300处,所以新的存优范围是[1 882,2 500],
所以x3=2 500+1 882-2 118=2 264.
同理可知新的存优范围是[2 118,2 500].
(2)因为x1=2 010,则由对称原理知x2=1 500+2 500-2 010=1 990,因为最优点在2 300处,所以x1优于x2,新的存优范围是[1 990,2 500].
所以x3=1 990+2 500-2 010=2 480,所以新的存优范围是[2 010,2 500].
所以x4=2 010+2 500-2 480=2 030.
题型二 用分数法解决优选法的应用问题
【例2】某化工厂准备对一化工产品进行技术改良,现决定优选加工温度,试验范围定为60 ℃~81 ℃,精确度要求±1 ℃,现在技术员用分数法进行优选.
(1)如何安排试验?
(2)若最佳点为69 ℃,请列出各试验点的数值;
(3)要通过多少次试验才可以找出最佳点?
【解析】(1)试验区间为[60,81],等分为21段,分点为61,62,…,79,80,所以60+1321×
(81-60)=73(℃).故第一试点安排在73 ℃.
由“加两头,减中间”的方法得60+81-73=68,所以第二试点选在68 ℃.后续试点也可以用“加两头,减中间”的方法来确定.
(2)若最佳点为69 ℃,即从第二次试验开始知69 ℃在存优范围内,由(1)知第一、二次试验点的值分别为73,68,因为69?[60,68],故去掉68 ℃以下的部分,则第三次试验点的值为68+81-73=76.同理去掉76 ℃以上的部分,第四次试验点的值为68+76-73=71,第五次试验点的值为68+73-71=70,第六次试验点的值为68+71-70=69.即安排了6次试验,各试验点的数值依次为:73,68,76,71,70,69.
(3)共有20个分点,由分数法的最优性定理可知F7=21,即通过6次试验可从这20个分点中找出最佳点.
【点拨】用分数法安排试验,一旦用Fn-1Fn确定第一个试点,后续的试点可以用“加两头,减中间”的方法来确定.
【变式训练2】某国有酒厂发酵某种酒精时规定发酵温度为(28±1)℃,发酵时间为3 000小时以上.为提高工厂效益,技术员老王进行缩短发酵时间的技术改造,决定对发酵温度进行优选.试验范围定为15 ℃~36 ℃,精确度为±1 ℃.请你用分数法帮助老王安排试验.
【解析】(1)将试验区间[15,36]等分为21段,分点为16,17,…,35.
(2)第一试点为15+(36-15)×13÷21=28(℃),
第二试点为15+(36-15)×8÷21=23(℃).
(3)以下按分数法顺次确定试点,就可以找到最优发酵温度.
总结提高
单因素方法包括0.618法(也叫黄金分割法)、分数法、对分法、盲人爬山法、分批试验法.其中0.618法和分数法是优选法的重点.优选法中的难点是理解0.618法和分数法的原理和认识分数法的最优性.

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