2013年高考数学导数及其运算训练试题（人教版）

[时间：45分钟　分值：100分]
基础热身
1．若f(x＋h)－f(x)＝2hx2＋5h2x＋3h3，则f′(x)＝________.
2．若曲线运动方程为S＝1－tt2＋2t2，则t＝2时的速度为________．
3．下列结论：
①若y＝cosx，则y′＝－sinx；
②若y＝x，则y′＝x2；
③若f(x)＝1x2，则f′(3)＝－227；
④若y＝ex，则y′＝y.
其中正确的有________个．
4．曲线y＝x3－2x＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为________．
能力提升
5．如图K13－1，函数y＝f(x)在A、B两点间的平均变化率是________．
图K13－1
6．f(x)＝x，则f′(8)等于________．
7．[2014?泰州调研] 设函数f(x)＝x2＋lnx，若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝ax＋b，则a＋b＝________.
8．某物体运动规律是S＝t2－4t＋5，则在t＝________时的瞬时速度为0.
9．[2014?湛江模拟] 函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导函数y＝f′(x)的图象是如图K13－2所示的一条直线，则y＝f(x)图象的顶点在第________象限．
图K13－2
10．[2014?南京二模] 若直线y＝kx－3与曲线y＝2lnx相切，则实数k＝________.
11．[2014?全国卷改编] 曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为________．
12．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝________.
13．(8分)求下列函数的导数：
(1)y＝(2x2－1)(3x＋1)；
(2)y＝3xex－2x＋e；
14．(8分)曲线y＝x2＋1上过点P的切线与曲线y＝－2x2－1相切，求点P的坐标．
15．(12分)设函数f(x)＝ax－bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
16．(12分)已知函数f(x)＝13x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C.
(1)求过曲线C上任意一点的切线斜率的取值范围；
(2)试问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点？若存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由．
课时作业(十三)
【基础热身】
1．2x2　[解析] 由f(x＋h)－f(x)＝2hx2＋5h2x＋3h3，得f?x＋h?－f?x?h＝2x2＋5hx＋3h2，当h无限趋近于0时，得f′(x)＝2x2.
2．8　[解析] S′(t)＝－2t3＋1t2＋4t，t＝2时的速度S′(2)＝8.
3．3　[解析] 由公式得①③④正确，而由幂函数导数公式得：若y＝x，则y′＝12x .
4．45°　[解析] y′＝3x2－2，y′x＝1＝1，则tanα＝1，故倾斜角为45°.
【能力提升】
5．－1　[解析] f(1)＝3，f(3)＝1，因此f?3?－f?1?3－1＝－1.
6.28　[解析] f(x)＝x12，f′(x)＝12x－12＝12x，f′(8)＝128＝28.
7．1　[解析] 由题知，f(1)＝12＋ln1＝1.又因为切点在切线上，于是有a＋b＝1.
8．2　[解析] 由导数的物理背景得v＝S′(t)＝2t－4＝0?t＝2.
9．一　[解析] 由图象得y＝f′(x)是一次函数，所以y＝f(x)是二次函数．
又f(x)的图象过原点，所以可设：f(x)＝ax2＋bx，
f′(x)＝2ax＋b.
结合f′(x)的图象可知，a<0，b>0，
∴－b2a>0，4ac－b24a＝－b24a>0，即顶点－b2a，4ac－b24a在第一象限．
10．2e　[解析] 设直线与曲线相切于点P(x0，y0)，
由题意得：y0＝kx0－3，y0＝2lnx0，k＝2x0，解得y0＝－1，x0＝1e，k＝2e.
11.13　[解析] 函数y＝e－2x＋1的导数为y′＝－2e－2x，则y′x＝0＝－2，曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线方程是2x＋y－2＝0，直线y＝x与直线2x＋y－2＝0的交点为23，23，直线y＝0与直线2x＋y－2＝0的交点为(1,0)，三角形的面积为12×1×23＝13.
12．－g(x)　[解析] 由给出的例子可以归纳推理得出：若函数f(x)是偶函数，则它的导函数是奇函数，因为定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，即函数f(x)是偶函数，所以它的导函数是奇函数，即有g(－x)＝－g(x)．
13．[解答] (1)解法一：∵y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，
∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′＝(6x3)′＋(2x2)′－(3x)′＝18x2＋4x－3.
解法二：y′＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′
＝4x(3x＋1)＋3(2x2－1)
＝12x2＋4x＋6x2－3
＝18x2＋4x－3.
(2)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3xln3?ex＋3xex－2xln2＝3xexln3e－2xln2.
(3)y′＝?lnx?′?x2＋1?－lnx??x2＋1?′?x2＋1?2
＝1x?x2＋1?－lnx?2x?x2＋1?2＝x2?1－2lnx?＋1x?x2＋1?2.
14．[解答] 方法一：设P(x0，y0)，由题意知曲线y＝x2＋1在P点的切线斜率为k＝2x0，切线方程为y＝2x0x＋1－x20，而此直线与曲线y＝－2x2－1相切，∴切线与曲线只有一个交点，即方程2x2＋2x0x＋2－x20＝0的判别式Δ＝4x20－2×4×(2－x20)＝0，
解得x0＝±233，y0＝73.
∴P点的坐标为233，73或－233，73.
方法二：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)分别为切线与曲线y＝x2＋1和y＝－2x2－1的切点．
则y1＝x21＋1，y2＝－2x22－1，k切＝2x1，k切＝－4x2，k切＝y1－y2x1－x2，∴x21＋2x22＋2x1－x2＝2x1＝－4x2，
∴x21＋2x22＋2x1－x2＝2x1，x1＝－2x2，
消去x1，得x2＝±33，则x1＝±233，
则P点的坐标为233，73或－233，73.
15．[解答] (1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝74x－3.
当x＝2时，y＝12.又f′(x)＝a＋bx2，
于是2a－b2＝12，a＋b4＝74，解得a＝1，b＝3，故f(x)＝x－3x.
(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋3x2，知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝1＋3x20(x－x0)，即y－x0－3x0＝1＋3x20(x－x0)．
令x＝0，得y＝－6x0，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为0，－6x0；
令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为12－6x02x0＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为定值，此定值为6.
16．[解答] (1)f′(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，
即过曲线C上任意一点的切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．
(2)设曲线C上存在过点A(x1，y1)的切线与曲线C同时切于两点，另一切点为B(x2，y2)，x1≠x2，
则切线方程是y－13x31－2x21＋3x1＝(x21－4x1＋3)(x－x1)，
化简，得y＝(x21－4x1＋3)x＋－23x31＋2x21.
而过B(x2，y2)的切线方程是y＝(x22－4x2＋3)x＋－23x32＋2x22，
由于两切线是同一直线，
则有x21－4x1＋3＝x22－4x2＋3，得x1＋x2＝4.
又由－23x31＋2x21＝－23x32＋2x22，
得－23(x1－x2)(x21＋x1x2＋x22)＋2(x1－x2)(x1＋x2)＝0，
－13(x21＋x1x2＋x22)＋4＝0，x1(x1＋x2)＋x22－12＝0，
即(4－x2)×4＋x22－12＝0，x22－4x2＋4＝0，
得x2＝2.但当x2＝2时，由x1＋x2＝4得x1＝2，
这与x1≠x2矛盾，


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