2013年4月高三数学理科模拟试卷（珠海市有答案）

数 学（理 科）试卷 2013.4.21
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：1．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
2．非必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 ， ，则集合
A． B． C． D．
2．设 是实数，且 是实数，则
A． B．
3．已知函数 （其中 ， ）的最小正周期是 ，且 ，则
A． ， B． ，
C． ， D． ，
4．下列四个命题中，真命题的个数为
（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；
（2）两条直线可以确定一个平面；
（3）若 ， ， ，则 ；
（4）空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内．
A．1B．2C．3D．4
5．已知 ，则 的值为
A． B． C．1D．2
6．设 是函数 的导函数，将 和 的图像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是
A．B．C．D．
7．设 ， 分别为具有公共焦点 与 的椭圆和双曲线的离心率， 为两曲线的一个公共点，且满足 ，则 的值为
A． B．1C．2D．不确定
8．已知 ， （ 、 ，且对任意 、 都有：
① ；② ．
给出以下三个结论：（1） ；（2） ；（3） ．
其中正确的个数为
A．3B．2C．1D．0
二、题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13～15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分．
9．圆心为 且与直线 相切的圆的方程是_______________．
10．向量 、 满足 ， ， ，则 、 的夹角为________．
11．若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有________种．
12．如右图，一个空间几何体的主视图、左视图是周长为4一个内角为 的菱形，俯视图是圆及其圆心，那么这个几何体的表面积为________．
13．（坐标系与参数方程选做题）极坐标系下，直线
与圆 的公共点个数是________．
14．（不等式选讲选做题） 、 ， ，则 的最小值为______．
15．（几何证明选讲选做题）如图所示，等腰三角形 的底边 长
为6 , 其外接圆的半径长为5, 则三角形 的面积是________．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
设集合 ， ．
（1）求集合 ；
（2）若不等式 的解集为 ，求 ， 的值．
17．（本小题满分12分）
已知函数 ．
（1）求 的最值；
（2）求 的单调增区间．
18．（本小题满分14分）
如图，四棱锥 中， 底面 ， ， ， ， ， 是 的中点．
（1）求证： ；
（2）求证： 面 ；
（3）求二面角 的平面角的正弦值．
19．（本小题满分14分）
已知抛物线 （ 为非零常数）的焦点为 ，点 为抛物线 上一个动点，过点 且与抛物线 相切的直线记为 ．
（1）求 的坐标；
（2）当点 在何处时，点 到直线 的距离最小？
20．（本小题满分14分）
数列 是以 为首项， 为公比的等比数列．令 ，
， ．
（1）试用 、 表示 和 ；
（2）若 ， 且 ，试比较 与 的大小；
（3）是否存在实数对 ，其中 ，使 成等比数列．若存在，求出实数对 和 ；若不存在，请说明理由．
21．（本小题满分14分）
设函数 ，其中 为常数．
（1）当 时，判断函数 在定义域上的单调性；
（2）若函数 的有极值点，求 的取值范围及 的极值点；
（3）求证对任意不小于3的正整数 ，不等式 都成立．
珠海市2013年高三模拟考试
数 学（理 科）参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．D2．B3．D4．A5．C6．D7．C8．A
二、题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13～15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分．
9． 10． （或 ）11．
12． 13． 14．
15．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
解： ，………………………………………………3分
，………………………3分
（1） ；…………………………………………………….2分
（2）因为 的解集为 ，
所以 为 的两根，………………………………………2分
故 ，所以 ， ．…………………………………….2分
17．（本小题满分12分）
解： …………………………………………2分
…………………………………………2分
…………………………………………………….2分
（1） 的最大值为 、最小值为 ；………………………………………………2分
（2） 单调增，故 ，……………………………2分
即 ，
从而 的单调增区间为 ．……………………2分
18．（本小题满分14分）
（1）证明： 底面 ，
又 ， ，故 面
面 ，故 …………………………………………………4分
（2）证明： ， ，故
是 的中点，故
由（1）知 ，从而 面 ，故
易知 ，故 面 ………………………………………………5分
（3）过点 作 ，垂足为 ，连结 ．
由（2）知， 面 ，故 是二面角 的一个平面角．
设 ，则 ， ，
从而 ，故 ．………………5分
说明：如学生用向量法解题，则建立坐标系给2分，写出相关点的坐标给2分，第（1）问正确给2分，第（2）问正确给4分，第（3）问正确给4分。
19．（本小题满分14分）
解：（1）抛物线方程为 ………………………………………………………2分
故焦点 的坐标为 …………………………………………………………2分
（2）设
20．（本小题满分14分）
解：（1）当 时， ，
当 时，
所以
；……………………4分
（2）因为 ，
所以
当 时， ，
当 时， ，
所以当 ， 且 时， ，即 ；…………5分
（3）因为 ， ，所以 ，
因为 为等比数列，则 或 ，
所以 或 （舍去），所以 .…………………………5分
21．（本小题满分14分）
解：（1）由题意知， 的定义域为 ，
…… 1分
当 时， ，函数 在定义域 上单调递增． …… 2分
（2）①由（Ⅰ）得，当 时，函数 无极值点．
② 时， 有两个相同的解 ，
时，
时，函数 在 上无极值点． …… 3分
③当 时， 有两个不同解，
时， ，
,
此时 ， 随 在定义域上的变化情况如下表：
减极小值增
由此表可知： 时， 有惟一极小值点 ， …… 5分
ii) 当 时，0< <1
此时， ， 随 的变化情况如下表：
增极大值减极小值增
由此表可知： 时， 有一个极大值 和一个极小值点 ； …… 7分
综上所述：
当且仅当 时 有极值点; …… 8分
当 时， 有惟一最小值点 ；
当 时， 有一个极大值点 和一个极小值点
（3）由(2)可知当 时，函数 ，
此时 有惟一极小值点
且 …… 9分
…… 11分
令函数


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