2013年4月高三数学理科二模试题（济南人教B版有答案）

启用前绝密
高三巩固训练
理 科 数 学
本试题分为第Ⅰ卷（）和第Ⅱ卷（非）两部分，共4页. 考试时间120分钟。满分150分，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
注意事项：
1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上.
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答案不能答在试卷上.
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不 能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.
4.题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
参考公式:统计中 的公式： ，其中 ， ， ， ，
一、选择题:(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)
1. 已知集合 ，则
A． B． C . D．
2. 若复数 （ 为虚数单位）是纯虚数，则实数 的值为
A． B． C . D．
3. 函数 是
A．最小正周期为 的奇函数 B. 最小正周期为 的偶函数
C. 最小正周期为 的奇函数 D. 最小正周期为 的偶函数
4. 等差数列 中，已知 ， ，使得 的最小正整数n为
A．7 B．8 C．9 D．10
5. 为了解疾病A是否与性别有关，在一医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：
患疾病A不患疾病A合计
男20525
女101525
合计302050
请计算出统计量 ，你有多大的把握认为疾病A与性别有关
下面的临界值表供参考：
0.050.0100.0050.001
3.8416.6357.87910.828
A. B. C. D.
6.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且asinA+csinC- asinC=bsinB．
则
A. B. C. D.
7.某学校周五安排有语文、数学、英语、物理、化学、体育六节课，要求体育不排在第一节课,数学不排在第四节课，则这天课表的不同排法种数为
A. 600B. 288 C. 480 D. 504
8. 设 是空间两条直线， , 是空间两个平面，则下列选项中不正确的是
A．当 时，“ ”是“ ”的必要不充分条件
B．当 时，“ ”是“ ”的充分不必要条件
C．当 时，“ ”是“ ∥ ”成立的充要条件
D．当 时，“ ”是“ ”的充分不必要条件
9. 函数 的图象大致为
10.定义某种运算 ， 的运算原理如图 所示.
设 . 在区间 上的最大值为.
A -2 B -1 C 0 D 2
11. 已知 的外接圆半径为1，圆心为O，且
，则 的值为
A B
C D
12. 若椭圆 ： （ ）和椭圆 ： （ ）
的焦点相同且 .给出如下四个结论：
① 椭圆 和椭圆 一定没有公共点； ② ；
③ ； ④ .
其中，所有正确结论的序号是
A ①③ B①③④ C ①②④ D ②③④
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、题：(本大题共4个小题，每小题4分，共16分)
13.不等式组 表示平面区域为 ，在区域 内任取一点 ，则 点的坐标满足不等式 的概率为 .
14.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .
15. 设 ，则二项式 的展开式中的常数项为 .
16.如图，F1，F2是双曲线C： (a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1的直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点．若 AB : BF2 : AF2 ＝3 : 4 : 5，则双曲线的离心率为 .
三、解答题:(本大题共6小题，共74分)
17（本题满分12分）已知函数 的最小正周期
为 .
⑴求 的解析式;
(2)求 在区间 上的最大值和最小值及取得最值时 的值.
18（本题满分12分）已知数列 满足 ， ，数列 满足 .
（1）证明数列 是等差数列并求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前n项和 .
19. （本题满分12分） 某企业计划投资A，B两个项目, 根据市场分析，A，B两个项目的利润率分别为随机变量X1和X2，X1和X2的分布列分别为：
X15%10%
P0.80.2
X22%8%12%
P0.20.50.3
　
(1)若在A，B两个项目上各投资1000万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求利润的期望 和方差 ；
(2)由于资金限制,企业只能将x(0≤x≤1000)万元投资A项目，1000－x万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值．
20.（本题满分12分）已知四边形 是菱形，
四边形 是矩形 ，平面 平面 ， 分别是 的中点.
(1)求证 ： 平面 平面
(2)若平面 与平面 所成的角为 ，
求直线 与平面 所成的角的正弦值
21. （本题满分12分）设 是抛物线 上相异两点， 到y轴的距离的积为 且 ．
（1）求该抛物线的标准方程.
（2）过Q的直线与抛物线的另一交点为R，与 轴交点为T，且Q为线段RT的中点，试求弦PR长度的最小值．
22.(本题满分14分)设 ，曲线 在点 处的切线与直线 垂直.
(1)求 的值;
(2) 若 ， 恒成立，求 的范围.
（3）求证：
2013.4济南市高三理科数学参考答案
一、选择题: ：(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)
题号123456789101112
答案CDBBBCDACDAB
二、填空题：(本大题共4个小题，每小题4分，共16分)
13 . 14. 15. 24 16.
三、解答题:(本大题共6小题，共74分)
17.解 -----5分
---------------------------------------------------------6分
(2) ，
，即 ，-------------------9分
当 即 时， ，
当 即 时， . ---------------------------------12分
18.解（1）证明：由 ，得
∴ ---------------------2分
所以数列 是等差数列，首项 ，公差为 -----------4分
∴ ------------------------6分
（2） -------------------------7分
----①
-------------------②----------9分
①-②得
19. 解: (1)由题设可知Y1和Y2的分布列为
Y150100
P0.80.2
Y22080120
P0.20.50.3
--------------2分
E(Y1)＝50×0.8＋100×0.2＝60，----------------------------------3分
D(Y1)＝(50－60)2×0.8＋(100－60)2×0.2＝400，------------------------4分
E(Y2)＝20×0.2＋80×0.5＋120×0.3＝80，---------------------------------------5分
D(Y2)＝(20－80)2×0.2＋(80－80)2×0.5＋(120－80)2×0.3＝1200.-------------------6分
(2)
＝ [x2＋3(1000－x)2]＝ (4x2－6000x＋3×106)．--------------------------------10分
当 时，f(x)＝300为最小值．-------------------------------12分
20. 解:
（1） 分别是 的中点
所以 ------------① ---------------1分
连接 与 交与 ,因为四边形 是菱形，所以 是 的中点
连 , 是三角形 的中位线
---------② --------------3 分
由①②知，平面 平面 --------------4分
（2） 平面 平面 ，所以 平面 ----------------------------5分
取 的中点 , 平面 ，
建系
设 ,
则
-----------------------------------------------------------6分
设平面 的法向量为
,所以
平面 的法向量 ---------------------------9分
,所以 -------------------------------10分
所以 ,设直线 与平面 所成的角为
-------------------------------12分
21. 解：（1）∵　OP→?OQ→＝0，则x1x2＋y1y2＝0，--------------------------1分
又P、Q在抛物线上，故y12＝2px1，y22＝2px2，故得
y122p?y222p ＋y1y2＝0， y1y2＝－4p2　
--------------------------3分
又x1x2＝4，故得4p2＝4，p=1．
所以抛物线的方程为: -------------4分
（2）设直线PQ过点E(a,0）且方程为x＝my＋a　　
联立方程组 　 　　　　　　　　　
消去x得y2－2my－2a＝0　　　　　　　　　
∴　 ①　--------------------------------6分
设直线PR与x轴交于点M(b,0)，则可设直线PR方程为x＝ny＋b,并设R(x3,y3)，
同理可知，
②　　　--------------------------7分
　　由①、②可得
由题意，Q为线段RT的中点，∴　y3＝2y2，∴b=2a分
又由（Ⅰ）知， y1y2＝－4，代入①，可得
－2a＝－4 　　∴　　a＝2．故b＝4．-----------------------9分
∴
∴
.
当n=0，即直线PQ垂直于x轴时PR取最小值 --------------------12分
22.
解：(1) -----------------------2分
由题设 ，
， . -------------------------------4分
(2) , ， ，即
设 ，即 .
-------------------------------------6分
①若 ， ，这与题设 矛盾.-----------------8分
②若 方程 的判别式
当 ，即 时， . 在 上单调递减， ，即不等式成立. ----------------------------------------------------------------------9分
当 时，方程 ，其根 ， ，当 , 单调递增， ，与题设矛盾.
综上所述， .------------------------------------------------------------------------10分
(3) 由(2)知,当 时, 时, 成立.
不妨令


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