2012届高考理科数学第一轮集合与常用逻辑用语总复习教案

逍遥右脑  2013-09-19 14:13

第一章 集合与常用逻辑用语

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考试要求重难点击命题展望
1.集合的含义与表示
(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系;
(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.
2.集合间的基本关系
(1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;
(2)在具体情境中,了解全集与空集的含义.
3.集合的基本运算
(1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;
(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;
(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.
4.命题及其关系
(1)理解命题的概念;
(2)了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题,否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系;
(3)理解必要条件,充分条件与充要条件的意义.
5.简单的逻辑联结词
了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.
6.全称量词与存在量词
(1)理解全称量词与存在量词的意义;
(2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定.本章重点:
1.集合的含义与表示、集合间的基本关系与基本运算;
2.命题的必要条件、充分条件与充要条件,对所给命题进行等价转化.
本章难点:
1.自然语言、图形语言、集合语言之间相互转换;
2.充分条件、必要条件的判断;
3.对含有一个量词的命题进行否定的理解.1.考查集合本身的基础知识,如集合的概念,集合间的关系判断和运算等;
2.将集合知识与其他知识点综合,考查集合语言与集合思想的运用;
3.考查命题的必要条件、充分条件与充要条件,要求考生会对所给命题进行等价转化;
4.要求考生理解全称量词与存在量词的意义,能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
知识网络

1.1 集合及其运算

                  
典例精析
题型一 集合中元素的性质
【例1】设集合A={a+1,a-3,2a-1,a2+1},若-3∈A,求实数a的值.
【解析】令a+1=-3?a=-4,检验合格;
令a-3=-3?a=0,此时a+1=a2+1,舍去;
令2a-1=-3?a=-1,检验合格;
而a2+1≠-3;故所求a的值为-1或-4.
【点拨】此题重在考查元素的确定性和互异性.首先确定-3是集合A的元素,但A中四个元素全是未知的,所以需要讨论;而当每一种情况求出a的值以后,又需要由元素的互异性检验a是否符合要求.
【变式训练1】若a、b∈R,集合{1,a+b,a}={0,ba,b},求a和b的值.
【解析】由{1,a+b,a}={0,ba,b},
得① 或②  显然①无解;由②得a=-1,b=1.
题型二 集合的基本运算
【例2】已知A={xx2-8x+15=0},B={xax-1=0},若B?A,求实数a.
【解析】由已知得A={3,5}.当a=0时,B=??A;当a≠0时,B={1a}.
要使B?A,则1a=3或1a=5,即a=13或15.
综上,a=0或13或15.
【点拨】对方程ax=1,两边除以x的系数a,能不能除,导致B是否为空集,是本题分类讨论的根源.
【变式训练2】(2010江西)若集合A={xx≤1,x∈R},B={yy=x2,x∈R},则A∩B等于(  )
A.{x-1≤x≤1} B.{xx≥0}
C.{x0≤x≤1} D.
【解析】选C.A=[-1,1],B=[0,+∞),所以A∩B=[0,1].
题型三 集合语言的运用
【例3】已知集合A=[2,log2t],集合B={xx2-14x+24≤0},x,t∈R,且A?B.
(1) 对于区间[a,b],定义此区间的“长度”为b-a,若A的区间“长度”为3,试求t的值;
(2)某个函数f(x)的值域是B,且f(x)∈A的概率不小于0.6,试确定t的取值范围.
【解析】(1)因为A的区间“长度”为3,所以log2t-2=3,即log2t=5,所以t=32.
(2)由x2-14x+24≤0,得2≤x≤12,所以B=[2,12],所以B的区间“长度”为10.
设A的区间“长度”为y,因为f(x)∈A的概率不小于0.6,
所以y10≥0.6,所以y≥6,即log2t-2 ≥6,解得t≥28=256.
又A?B,所以log2t≤12,即t≤212=4 096,所以t的取值范围为[256,4 096](或[28, 212]).
【变式训练3】设全集U是实数集R,M={xx2>4},N={x2x-1≥1},则图中阴影部分所表示的集合是(  )
A.{x-2≤x<1}
B.{x-2≤x≤2}
C.{x1<x≤2}
D.{xx<2}
【解析】选C.
化简得M={x<-2或x>2},N={x1<x≤3},故图中阴影部分为?RM∩N={x1<x≤2}.
总结提高
1.元素与集合及集合与集合之间的关系
对于符号∈,?和?,?的使用 ,实质上就是准确把握两者之间是元素与集合,还是集合与集合的关系.
2.“数形结合”思想在集合运算中的运用
认清集合的本质特征,准确地转化为图形关系,是解决集合运算中的重要数学思想.
(1)要牢固掌握两个重要工具:韦恩图和数轴,连续取值的数集运算,一般借助数轴处理,而列举法表示的有限集合则侧重于用韦恩图处理.
(2)学会将集合语言转化为代数、几何语言,借助函数图象及方程的曲线将问题形象化、直观化,以便于问题的解决.
3.处理集合之间的关系时, 是一个不可忽视、但又容易遗漏的内容,如 A?B,A∩B=A,A∪B=B等条件中,集合A可以是空集,也可以是非空集合,通常必须分类讨论.

命题及其关系、充分条件与必要条件

典例精析
题型一 四种命题的写法及真假判断
【例1】写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断其真假.
(1)若m,n都是奇数,则m+n是奇数;
(2)若x+y=5,则x=3且y=2.
【解析】(1)逆命题: 若m+n是奇数,则m,n都是 奇数,假命题;
否命题:若m,n不都是奇数,则m+n不是奇数,假命题;
逆否命题:若m+n不是奇数, 则m,n不都是奇数,假命题.
(2)逆命题:若x=3且y=2,则x+y=5,真命题;
否命题:若x+y≠5,则x≠3或y≠2,真命题;
逆否命题:若x≠3或y≠2,则x+y≠5,假命题.
【点拨】写命题的四种形式,关键是找出命题的条件与结论,根据四种命题结构写出所求命题.判断 四种命题真假,要熟悉四种命题的相互关系,注意它们之间的相互性.
【变式训练1】已知命题“若p,则q”为真,则下列命题中一定为真的是(  )
A.若 p,则 q B.若 q,则 p
C.若q,则p D.若 q,则p
【解析】选 B.
题型二 充分必要条件探究
【例2】设m>0,且为常数,已知条件p:x-2<m,条件q:x2-4<1,若 p是 q的必要非充分条件,求实数m的取值范围.
【解析】 设集合A={x x-2<m}={x2-m<x<2+m},B={xx2-4<1}={x3<x<5或-5<x<-3}.
由题设有: q? p且 p不能推出 q,所以p?q且q不能推出p,所以A?B.
因为m>0,所以(2-m,2+m)?(3,5),
故由2+m≤5且2-m≥3?0<m≤5-2,故实数m的取值范围为(0,5-2].
【点拨】正确化简条件p和q,然后将充分条件、必要条件问题等价转化为集合与集合之间的包含问题,借助数轴这个处理集合问题的有力工具使问题得以解决.
【变式训练2】已知集合A={xa-2<x<a+2},B={xx≤-2或x≥4},则A∩B=?的充要条件是(  )
A.0≤a≤2 B.-2<a<2
C.0<a≤2D.0<a<2
【解析】选A.因为A={xa-2<x<a+2},B={xx≤-2或x≥4},且A∩B=?,所以如图 ,由画出的数轴可知,

即0≤a≤2.
题型三 充分必要条件的证明
【例3】设数列{an}的各项都不为零,求证:对任意n∈N*且n≥2,都有1a1a2+1a2a3+…+1an-1an=n-1a1an成立的充要条件是{an}为等差数列.
【证明】(1)(充分性)若{an}为等差数列,设其公差为d,则
1a1a2+1a2a3+…+1an-1an=1d[(1a1-1a2)+(1a2-1a3)+…+(1an-1-1an)]
=1d(1a1-1an)=an-a1da1an=n-1a1an.
(2)(必要性)若1a1a2+1a2a3+…+1an-1an=n-1a1an,
则1a1a2+1a2a3+…+1an-1an+1anan+1=na1an+1,
两式相减得1anan+1=na1an+1-n-1a1an ?a1=nan-(n-1)an+1.①
于是有a1=(n+1)an+1-nan+2,②
由①②得nan-2nan+1+nan+2=0,所以an+1-an=an+2-an+1(n≥2).
又由1a1a2+1a2a3=2a1a3?a3-a2=a2-a1,
所以n∈N*,2an+1=an+2+an,故{an}为等差数列.
【点拨】按照充分必要条件的概念,分别从充分性和必要性两方面进行探求.
【变式训练3】设0<x<π2,则“xsin2x<1”是“xsin x<1”的(  )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.若xsin x<1,因为x∈(0,π2),所以xsin x>xsin2x,由此可得xsin2x<1,即必要性成立.若xsin2x<1,由于函数f(x)=xsin2x在(0,π2)上单调递增,且π2sin2π2=π2>1,所以存在x0∈(0,π2) 使得x0sin2x0=1.又x0sin x0>x0sin2x0=1,即x0sin x0>1,所以存在x0′∈(0,x0)使得x0′sin2x0′<1,且x0′sin x0′≥1,故充分性不成立.
总结提高
1.四种命题的定义和区别,主要在于命题的结论和条件的变化上.
2.由于互 为逆否命题的两个命题是等价的,所以我们在证明一个命题的真假时,可以通过其逆否命题的证明来达到目的.适合这种处理方法的题型有:
①原命题含有否定词“不”、“不能”、“不是”等;②原命题含有“所有的”、“任意的”、“至少 ”、“至多”等;③原命题分类复杂,而逆否命题分类简单;④原命题化简复杂,而逆否命题化简简单.
3.p是q的充分条件,即p?q,相当于分别满足条件p和q的两个集合P与Q之间有包含关系:P?Q,即P Q或P=Q,必要条件正好相反.而充要条件p?q就相当于P=Q.
4.以下四种说法表达的意义是相同的:①命题“若p,则q”为真;②p?q;③p是q的充分条件;④q是p的必要条件.

1.3 简易逻辑联结词、全称量词与存在量词

典例精析
题型一 全称命题和特称命题的真假判断
【例1】判断下列命题的真假.
(1)?x∈R,都有x2-x+1>12;
(2)?α,β使cos(α-β)=cos α-cos β;
(3)?x,y∈N,都有x-y∈N;
(4)?x0,y0∈Z,使得2x0+y0=3.
【解析】(1)真命题,因为x2-x+1=(x-12)2+34≥34>12.
(2)真命题,例如α=π4,β=π2,符合题意.
(3)假命题,例如x=1,y=5,但x-y=-4?N.
(4)真命题,例如x0=0,y0=3,符合题意.
【点拨】全称命题是真命题,必须确定对集合中的每一个元素都成立,若是假命题,举反例即可;特称命题是真命题,只要在限定集合中,至少找到一个元素使得命题成立.
【变式训练1】已知命题p:?x∈R,使tan x=1,命题q:?x∈R,x2>0.则下面结论正确的是(  )
A.命题“p∧q”是真命题B.命题“p∧ q”是假命题
C. 命题“ p∨q”是真命题D.命题“ p∧ q”是假命题
【解析】选D.先判断命题p和q的真假,再逐个判断.容易知命题p是真命题,如x=π4, p是假命题;因为当x=0时,x2=0,所以命题q是假命题, q是真命题.所以“p∧q”是假命题,A错误;“p∧ q”是真命题,B错误;“ p∨q”是假命题,C错误;“ p∧ q”是假命题,D正确.

题型二 含有一个量词的命题的否定
【例2】写出下列命题的否定,并判断其真假.
(1)p:?x∈R,x2-x+14≥0;
(2)q:所有的正方形都是矩形;
(3)r:?x∈R,x2+2x+2≤0;
(4)s:至少有一个实数x,使x3+1=0.
【解析】(1) p:?x∈R,x2-x+14<0,是假命题.
(2) q:至少存在一个正方形不是矩形,是假命题.
(3) r:?x∈R,x2+2x+2>0,是真命题.
(4) s:?x∈R,x3+1≠0,是假命题.
【点拨】含有一个量词的命题否定中,全称命题的否定是特称命题,而特称命题的否定是全称命题,一般命题的否定则是直接否定结论即可.
【变式训练2】已知命题p:?x∈(1,+∞),log3x>0,则 p为     .
【解析】?x0∈(1,+∞),log3x0≤0.
题型三 命题的真假运用
【例3】若r(x):sin x+cos x>m,s(x):x2+mx+1>0,如果“对任意的x∈R,r(x)为假命题”且“对任意的x∈R,s(x)为真命题”,求实数m的取值范围.
【解析】因为由m<sin x+cos x=2sin(x+π4)恒成立,得m<-2;
而由x2+mx+1>0恒成立,得m2-4<0,即-2<m<2.
依题意,r(x)为假命题且s(x)为真命题,所以有m≥-2且-2<m<2,
故所求m的取值范围为-2≤m<2.
【点拨】先将满足命题p、q的m的取值集合A、B分别求出,然后由r(x)为假命题(取A的补集),s(x)为真命题同时成立(取交集)即得.
【变式训练3】设M是由满足下列性质的函数f(x)构成的集合:在定义域内存在x0,使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立.已知下列函数:①f(x)=1x;②f(x)=2x;③f(x)=lg(x2+2);④f(x)=cos πx,其中属于集合M的函数是   (写出所有满足要求的函数的序号).
【解析】②④.对于①,方程1x+1=1x+1,显然无实数解;
对于②,由方程2x+1=2x+2,解得x=1;
对于③,方程lg[(x+1)2+2]=lg(x2+2)+lg 3,显然也无实数解;
对于④,方程cos[π(x+1)]=cos πx+cos π,
即cos πx=12,显然存在x使等式成立.故填②④.
总结提高
1.同一个全称命题,特称命题,由于自然语言的不同,可能有不同的表述方法,在实际应用中可以灵活选择.

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