辽宁省辽宁师大附中2014届高三上学期期中考试 数学理试题

2013(2014学年度第一学期高三期中数学(理)试卷命题人:田芳 校对人:张颖一选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1设集合A=,B=，则A∪B=（?）A． B． C． D．等于 （ ） A． B. C. D. 3下列命题错误的是 ( ) A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”B．若为假命题，则均为假命题; C．命题：存在,使得，则：任意,都有 D．“”是“”的充分不必要条件4已知一个几何体的三视图如图所示, 则该几何体的表面积为(　　)A. 24＋6π B. 24＋4πC. 28＋6π D. 28＋4π、和两条不重合的直线，有下列 四个命题 ①若，则②若③若④若其中正确命题的个数是 ( )A．0个B．1个C．2个D．3个6在ABC中，角A、B均为锐角，且cosA>sinB，则ABC的形状是(　 　)A．直角三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形已知，是不共线的向量，＝，＝，λ，μR，那么A、B、C三点共线的充要条件为(　　)A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1C．λμ＝－1 D．λμ＝1已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a4＋a5＋a6＝，则cosS9的值为(　 　)A. B. C．－ D．－9 若不等式x2＋ax－2>0在区间[1,5]上有解, 则a的取值范围是(　　)A. (－, ＋∞) B. [－, 1]C. (1, ＋∞) D. (－∞, －]的函数同时满足以下条件：①；②；③当时，。则 （ ）A. B. C. D. 11已知函数的定义域为，部分对应值如下表， 为的导函数，函数y=的图象如右图所示：x-204f(x)1-11若两正数、满足，则的取值范围是 （ ）[Ks5A. B. C. D. 12已知圆与轴的两个交点为、，若圆内的动点使、、成等比数列，则的取值范围为 （ ）A. B. C. D. 二、填空题：(本大题共4小题；每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.) 13. 函数的定义域是 ． ,，向量与垂直，则实数的值为 ．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象,若在上为增函数,则最大值为_____. 16 如图,在三棱锥中, 、、两两垂直,且．是底面内一点,定义,其中、、分别是三棱锥、 三棱锥、三棱锥的体积．,且恒成立,则正实数的最小值为____ ________三解答题：(本大题共6小题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤)17（本小题满分10分）设ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cosB＝，b＝2.(1)当A＝30°时，求a的值；(2)当ABC的面积为3时，求a＋c的值．已知，，函数(1) 当x时，求f(x)的最大值和最小值；(2) 求f(x)的单调区间．已知等比数列{an}中，公比q(0,1)，a2＋a4＝，a1a5＝，设bn＝nan(nN*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{bn}的前n项和Sn.已知函数g(x)＝＋alnx在区间(0,1)上单调递减求实数a的取值范围．，求的单调区间；21（本小题满分12分）如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△是 等腰直角三角形， （1）求证：；（2）设线段的中点为，在直线上是否存在一点，使得？ 若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；（3） 求二面角的大小。22（本小题满分12分）已知函数．（1）求在]上的最大值；（2）若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）若关于的方程在上恰有两个不同的实根，求实数的取值范围．(2014学年度第一学期高三期中数学(理)试卷答案辽师附中 田芳;一选择题: DDBAD;CDDAC;BB.二填空题: 13) ； 14) ； 15) 2； 16) 1；三解答题: 17解：(1)因为cosB＝，所以sinB＝.由正弦定理＝，可得＝.所以a＝.(2)因为ABC的面积S＝acsinB，sinB＝，所以ac＝3，ac＝10.由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得4＝a2＋c2－ac＝a2＋c2－16，即a2＋c2＝20.所以(a＋c)2－2ac＝20，(a＋c)2＝40，所以，a＋c＝2.解：(1)f(x)＝sin2x－cos2x＋1＝2sin＋1.∵≤x≤，≤2x≤π，≤2x－≤，≤sin≤1，1≤2sin≤2，于是2≤2sin＋1≤3，f(x)的最大值是3，最小值是2.(2)由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，kZ得2kπ－≤2x≤2kπ＋，kZ，kπ－≤x≤kπ＋，kZ， 即f(x)的单调递增区间为，kZ，同理由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，kZ得f(x)的单调递减区间为，kZ.----------12分 19解：(1)由题意知：a2?a4＝a1?a5＝，联立方程得：.q∈(0,1)，a2>a4，解方程组得a2＝1，a4＝，q＝，a1＝2，an＝2×()n－1＝()n－2.(2)由(1)知：an＝()n－2，所以bn＝n()n－1.∴Sn＝1×()0＋2×()1＋3×()2＋…＋(n－1)?()n－2＋n()n－1，Sn＝1×()1＋2×()2＋…＋(n－2)()n－2＋(n－1)?()n－1＋n()n， ∴①－得：Sn＝()0＋()1＋()2＋…＋()n－2＋()n－1－n()n＝－n()n，Sn＝4－()n－2－n()n－1＝4－(n＋2)()n－1.解：(1)g(x)＝x2＋2x＋alnx，g′(x)＝2x＋2＋.函数g(x)在(0,1)上单调递减，在区间(0,1)内，g′(x)＝2x＋2＋＝≤0恒成立， ∴a≤－(2x2＋2x)在(0,1)上恒成立 .－(2x2＋2x)在(0,1)上单调递减，a≤－4为所求．-----------8分∵ ∴①当时，在区间∴的单调增区间为-------9分②当时，由∴----------12分21 (Ⅰ)因为△ABE为等腰直角三角形,AB=AE, 所以AE⊥AB. 又因为平面ABEF⊥平面ABCD,AE平面ABEF, 平面ABEF∩平面ABCD=AB, 所以AE⊥平面ABCD. 所以AE⊥AD.因此,AD,AB,AE两两垂直,以A为坐标原点,建立 如图所示的直角坐标系------3分 设AB=1, 则AE=1，B（0，1，0），D (1, 0, 0 ) , E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ). 因为FA=FE, ∠AEF = 45°, 所以∠AFE= 90°. 从而. 所以,,. ,. 所以EF⊥BE, EF⊥BC. 因为BE平面BCE,BC∩BE=B , 所以EF⊥平面BCE.-----------------------6分 (Ⅱ)存在点M,当M为AE中点时,PM∥平面BCE. M ( 0,0, ), P ( 1, ,0 ). 从而=,于是?=?=0 所以PM⊥FE,又EF⊥平面BCE，直线PM不在平面BCE内， 故PM∥平面BCE. ………………………………9分(Ⅲ) 设平面BDF的一个法向量为，并设=（x,y,z）. ， 则 即 取y=1，则x=1，z=3。从而。 取平面ABD的一个法向量为。 。故二面角F—BD—A的大小为arccos。……………………………12分22解： （1），令，得或（舍）当时，，单调递增；当时，，单调递减，是函数在上的最大值---------------------3分（2）对恒成立若即，恒成立由得或设依题意知或在上恒成立都在上递增或，即或------------------------------7分（3）由知，令，则当时，，于是在上递增；当时，，于是在上递减，而，即在上恰有两个不同实根等价于解得----------12分！第6页 共10页学优高考网！！?PFEDCBA-2yxo辽宁省辽宁师大附中2014届高三上学期期中考试 数学理试题
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