数学教育的文化反思

数学的魔力

数学是一门特殊的学问。它特殊的原因不单是因为它的形式,也并不仅因为它在古代就存在;数学特殊的原因在于,数学的推理呈现了人类理性最纯粹的展示。这种理性展示所构成的证明,被公认为是数学引导人思考最重要的特质。因为这个特质呈现了人类的纯粹思维,以及不属于经验世界的特性,使得在哲学发展的起初,数学就成为对抗变动的经验世界最稳固的展示。这个展示使得数学成为不变本质的代名词,也让人以为数学代表一切理念的集合,也就是真理的代表。

这不但是一种很普遍的想法,也极有可能是一种错误的想法。为什么?因为我们活在世界中,却怎么会认定一种与经验无关的思维为真理呢?如果数学真是真理的话,那么这是否意味着,所有经由经验所呈现的,都不是真的?对于一般人而言,否定经验内容的想法可能是很荒谬的,可是所有涉猎西洋哲学史的人都知道,这正是以柏拉图为主导的哲学学派之核心思想。以柏拉图哲学在西洋哲学所占据的地位而言,这已经算得上是“主流思想”,但更有趣的是,柏拉图以接近“宗教”的方式,呈现数学的特性。当然这个做法,也为数学增添些许神秘色彩。

没有人知道,数学的神秘色彩对现代科学的发展究竟起了什么作用,但数学成为科学发展的主轴,却是不争的事实。正是因为这个缘故,我们在现代科学中的教育,也是以数学作为学校教授的主要科目。这是众所周知的,但有没有人想过,数学既然与我们的实际生活不甚关联,却为什么会成为教育的主要科目。难道我们受教育的目的,依然是古典时期那种脱离现实生活以追求“超越”的传统吗?这些问题,让我们不得不思考,我们教育中对于数学的重视,会不会是一个“迷思”的结果?

因为数学教育所引发的问题,让我们不得不想如下的问题:数学究竟有什么魔力,让我们对于它的功能如此执著?我们不得不提醒自己,在这一个充满科技的21世纪,处处以数学作为科学的基础,但它本身的成因却是一个“谜团”。我们甚至不知道数学有没有一个固定的定义方式。这是一个大问题,因为即使我们不断地而且有意义地谈论数学,但“数学是什么”这个问题,依然尚未获得满意的答案。科学哲学家哈金(I. Hacking)就针对这个问题,采用历史谱系学的方法,从数学发展的历史中,找出一个令人惊讶的答案。

哈金为哲学家对于数学的迷恋态度感到大惑不解。其中,最重要的哲学家就是罗素。罗素甚至极端地认为,所有的哲学家都应该延续康德的事业,回答“纯粹数学如何可能”这个困难的问题。哈金坦言,罗素这样说是夸大其词,因为只有部分的哲学家对于数学展现了高度兴趣。是什么力量让这么多重量级的哲学家对于数学的本质与结构如此感兴趣?哈金认为,最重要的理由,就是数学证明。

哈金的想法说明了数学的本质,也指出了哲学家的迷惘,当然也包含我们的迷惘。可是,哲学家一直不能理解,理性的起源,居然是神秘的,甚至是神圣的(奥古斯丁)。所以,哈金以追溯历史的方式,在古希腊的源头找到这个问题的起源。他找到的答案,就是柏拉图。柏拉图是我们现在深受“以证明为主的数学模式”所吸引的代理人。柏拉图的理念,影响了后来的跟随者,引导人们进一步创造一些迷人的数学概念,比方“展示”、“模型”、“证明”、“计算”、“形式主义”、“抽象化”。

为什么这些概念会“迷人”呢?答案就在于那些“必然如此”的感觉。这一问一答之间,我们可以看得出来,这件事情,几乎可以用“美丽的错误”来形容。为什么?因为众所周知的是,在人际交往中,真正吸引人注意与尊重的,往往多为修辞的字句与动人的语言。在古希腊社会中,注重语言能力这件事尤其重要,代表一个人能力的展现。事实上,希腊的数学成就对希腊人来说是无关紧要的。对于拥有高度文化素养的人来说,重要的是医学、法律、修辞学、政治学、伦理学和历史,而不是数学。

数学教育的影响

著名的美国实用主义哲学家皮尔斯(C. S. Peirce)说,数学有两个不为人知的特色:第一,数学不同于所有其他的科学,所有其他的科学都可能因为它所研究的对象的消失而消失,但纯粹的数学没有这个问题,因为它不研究任何实质的对象。甚至我们可以说,不研究任何实质的对象正是数学之所以是数学的原因。另一个特色是,数学完全不需要诉诸于哪一种逻辑。这也许会让人觉得很意外,因为通常我们会认为数学就是一个推理的科学,而推理往往是需要透过逻辑来进行的。有趣的是,正是因为推理本身并不需要说明我们为何懂得推理,就像说我们知道能够发出一个母音的声音的人,并不需要说明为什么,他知道如何发出一个母音,数学也是如此。没有哪一种逻辑可以完全涵盖我们思考与推理的能力。

数学所需要的是最自然的推理能力。因为这个缘故,数学是一个纯粹思考的产物;数学所应用的推理能力,基本上不仅是一个天生的能力,也是一种因人而异的能力。这两种能力在现行的数学教育中,出现了一种与柏拉图在《美诺(meno)篇》中的想法截然相反的结果:我们的数学能力基本上是一个因人而异,而且不受外在环境影响的能力。这种能力的发展,导致我们教育中三个很特别的现象。

首先,我们所学习的事物当中,在推理跟事实之间有两种截然不同性质的教育对象。事实的学习,是要透过语言能力的听、说、读、写,而数学的能力完全是仰仗于内在的智力,跟听、说、读、写等语言能力,没有必然的关系。

其次,从学习的负担而言,真正拥有数学推理能力的人,可以在不费特别功夫的情况下,只需了解定理与公式,就可以进行推理的运算。而这种运算能力对于没有这种推理能力的人而言,在学习的过程中构成极大的差别,尤其是反映在成绩的高低之上。

最后,这种差别出现了一个意想不到的结果,就是数学能力较佳者的学习过程,必然与其他人不同。因为当其他人需要透过写作以及朗诵的方式来加深印象时,数学推理能力强的人,往往是透过一种内在的、理性的,甚至神秘的声音,告诉他自己在学习过程中需要什么样的能力,以及能够达到怎样的成效。在一种比较的眼光下可以说,数学能力强的人,往往语言的能力反而会因为过度强调思考,而受到内在理性的压抑,认为“多说无益”,不如“一次证明”。这种压抑不是来自于体制,而是来自于体制与个人思维的结合。

毫无疑问,这种现象反映在我们现今的教育成果中,带来了负面的影响,表现为如下三点。

首先,数学独大,其他的学科在与数学相较下,因为缺乏比较的标准,而失去了学习的意义与动机。

其次,普遍的语言能力下降,导致优美的文字与表达变成了次级的学习对象。

最后,人文精神的消失。因为独重数学的结果,尤其是透过数学科学化而强调数学的结果,往往是用一种非常实际的方式,落实数学中的抽象概念。数学化后的科技固然会带来生活上的便利,但是很遗憾,科技的唯物论本质,也会直接或间接消弭数学的抽象特性,使得原先一向讲求想象力与推理能力的学科,变成一项与自然世界结合的工具理性。加上唯物论的推波助澜,这种工具理性最终必然导致人文精神的下降。原因是,在唯物的世界中,人的地位与其他的万事万物没有不同,都是由最简单的粒子所构成的。我们必须认识到,这不是数学本身的错,而是人们以误导的观念看待数学所造成的结果。

未来展望

这些结果之中,有的导致现代科学的发展,也有的满足人们长期追求真理的欲望。整体而言,这些结果发展得相当成功,以致于许多人认为“数学代表真理”。本文对于这个认知提出质疑,认为数学不但不能代表真理,甚至认为这个观念根本就是错误的。经过一个历史式的论述,本文认为这是一个自我设限的观念,完全无助于人文精神的发扬,也有害于教育平等的目标。以现今教育体制对数学的重视,我们认为对数学有正确的认知是极其重要的。在正确的认知下,教育应该注意如下三项重点。

首先,教育的目标是为了提振人的精神,因为人总是期待能够在教育的过程中获得养成的机会。

其次,过度强调数学的教育,往往会在数学与自然世界结合的情况下,不知不觉地将人文社会带入唯物主义的环境中,最终导致人文精神的挫折,社会发展的物化。

最后,数学的本质并不是可以用规则表示的逻辑,而是人与生俱有的推理能力。因此在这个情况中,我们不必对数学究竟是什么而感到焦虑,我们只要注意任何人都应当具有数学推理的能力。没有人应该在受教育的过程中因为数学推理能力不佳,而感到沮丧与挫折。


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